Całki oznaczone – wprowadzenie

Dzisiejszy wpis będzie dotyczył wyznaczania całek oznaczonych.

Aby obliczyć całkę nieoznaczoną $\int_a^bf(x)dx$ należy kolejno:

  1. Wyznaczyć całkę nieoznaczoną $\int f(x)dx=F(x)+C$.
  2. Wyznaczyć całkę oznaczoną korzystając ze wzoru:
    \begin{equation}\label{eq:calkaoznaczona}
    \int_a^b f(x)dx=[F(x)]^{b}_{a}=F(b)-F(a)
    \end{equation}

Przyjrzyjmy się poniższym przykładom.

Przykład 1. Obliczyć całkę $\int\limits^{-1}_{-e}\left(3x^2-5+\frac{1}{x}\right)dx$.

Rozwiązanie:

Ponieważ całka nieoznaczona, którą mamy do policzenia jest dość prosta, to możemy od razu zapisać naszą całkę oznaczoną (wykonując w pamięci krok 1).
$$\int\limits^{-1}_{-e}\left(3x^2-5+\frac{1}{x}\right)dx=\left[3\cdot\frac{x^3}{3}-5x+\ln|x|\right]^{-1}_{-e}$$
$$=\left[x^3-5x+\ln |x|\right]^{-1}_{-e}=(-1)^3-5\cdot (-1)+\ln |-1|-\left((-e)^3-5\cdot (-e)+\ln |-e|\right)$$
$$=-1+5+\ln 1+e^3-5e-\ln e=4+0+e^3-5e-1=e^3-5e+3.\quad\square$$
Przykład 2. Obliczyć całkę $\int\limits_1^e\frac{\ln x}{x^2}dx$.

Rozwiązanie:
Rozpoczynamy od wyznaczenia całki nieoznaczonej $\int\frac{\ln x}{x^2}dx$. Jest to całka, którą wyznaczymy stosując metodę całkowania przez części.

Mianowicie:
$$\int\frac{\ln x}{x^2}dx$$
$$=\begin{vmatrix}
u(x)=\ln x & v'(x)=\frac{1}{x^2}\\
u'(x)=\frac{1}{x} & v(x)=\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}
\end{vmatrix}$$
$$=-\frac{\ln x}{x}-\int\frac{-1}{x^3}dx$$
$$=-\frac{\ln x}{x}+\int x^{-3}dx$$
$$=-\frac{\ln x}{x}+\frac{x^{-2}}{-2}+C$$
$$=-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{2x^2}+C.$$
Wówczas korzystając ze wzoru \eqref{eq:calkaoznaczona} wyznaczamy całkę oznaczoną jako:
$$\int\limits_1^e\frac{\ln x}{x^2}dx=\left[-\frac{\ln x}{x}-\frac{1}{2x^2}\right]^e_1$$
$$=-\frac{\ln e}{e}-\frac{1}{2e^2}-\left(-\frac{\ln 1}{1}-\frac{1}{2\cdot 1^2}\right)$$
$$=-\frac{1}{e}-\frac{1}{2e^2}+0+\frac{1}{2}$$
$$=\frac{e^2-2e-1}{2e^2}.\quad\square$$
Przykład 3. Obliczyć całkę $\int\limits_0^{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}dx$.

Rozwiązanie:
Rozpoczynamy od wyznaczenia całki nieoznaczonej $\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}dx$. Jest to całka, którą wyznaczymy stosując metodę podstawiania. Przy czym, aby dało się skorzystać z metody podstawiania należy zauważyć, że $x^6=(x^3)^2$.

Mianowicie:
$$\int\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}dx=\int\frac{x^2}{\sqrt{1-(x^3)^2}}dx$$
$$=\left|\begin{array}{c}
x^3=t \\
3x^2dx=1dt \\
x^2dx=\frac{1}{3}dt
\end{array} \right|$$
$$=\frac{1}{3}\int\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\frac{1}{3}\arcsin t+C$$
$$=\frac{1}{3}\arcsin\left(x^3\right)+C.$$
Wówczas korzystając ze wzoru \eqref{eq:calkaoznaczona} wyznaczamy całkę oznaczoną jako:
$$\int\limits_0^{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^6}}dx$$
$$=\left[\frac{1}{3}\arcsin\left(x^3\right)\right]_0^{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}$$
$$=\frac{1}{3}\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}\arcsin 0$$
$$=\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{\pi}{6}-0\right)=\frac{\pi}{18}.\quad\square$$

Share:
Posted in Całki, Całki oznaczone.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *