Całki nieoznaczone – wprowadzenie

Dzisiejszy wpis rozpoczyna cykl wpisów dotyczących wyznaczania całek nieoznaczonych.

Całki to temat znany wszystkim. Choćby ze słyszenia;) Można powiedzieć, że to temat wręcz legendarny, może nawet znany seryjny morderca braci studenckiej, któremu nigdy nic nie udowodniono^^ W rozdziale tym pokażemy, że całki nie są takie straszne. Jednak zanim zaczniemy warto powiedzieć, że całka całce nie równa. Generalnie różnych rodzajów całek jest dużo. Jednak w ramach postów na tym blogu zajmiemy się tylko tymi podstawowymi tj. całką nieoznaczoną, całką oznaczoną i całką niewłaściwą. Swoje rozważania rozpoczynamy od całki nieoznaczonej.

Co to jest całka nieoznaczona? Jak ją policzyć? Pytanie to wydaje się być trudne i pewnie chętnie by Państwo na nie odpowiedzieli:,,nie wiem”. Tymczasem nie byłaby to prawda bo umieją Państwo liczyć całki! Jak to możliwe? Otóż tak jak dzielenie jest operacją odwrotną do mnożenia tak całkowanie jest operacją odwrotną do liczenia pochodnej. A liczyć pochodną przecież Państwo potrafią. Na przykład pochodna z sinusa to był cosinus co zapisalibyśmy w ten sposób:
$$(\sin x)’=\cos x.$$
Zatem zgodnie z tym co powiedzieliśmy całka z cosinusa wynosi…sinus. Pozostaje tylko pytanie jak to zapisać? Oczywiście matematyka ma swoje oznaczenie na całkę. W tym konkretnym przykładzie zapis ten wyglądałby następująco:
$$\int\cos x dx=\sin x.$$
Jednak to co przed chwilą napisaliśmy nie jest do końca prawdą…Dlaczego? Przypomnijmy sobie, że pochodna z dowolnej stałej rzeczywistej $C$ wynosi zero. Zatem:
$$(\sin x+C)’=(\sin x)’+C’=\cos x+0=\cos x$$
Czyli pochodna z funkcji $\sin x+C$, gdzie $C$ jest dowolną stałą, również wynosi $\cos x$. Zatem zgodnie z tym co powiedzieliśmy wyżej (że całkowanie to operacja odwrotna do liczenia pochodnej), całka z cosinusa wynosi nie sam sinus, ale sinus plus stała $C$ co zapisalibyśmy następująco:
$$\int\cos x dx=\sin x+C.$$
Podsumowując jeśli chcemy policzyć całkę nieoznaczoną z pewnej funkcji oznaczmy ją przez $f(x)$ to szukamy takiej funkcji oznaczmy ją $F(x)$, że jej pochodna $F'(x)$ jest równa właśnie tej początkowej funkcji $f(x)$, z której chcieliśmy policzyć całkę nieoznaczoną. Następnie do tak znalezionej funkcji $F(x)$ dodajemy stałą $C$ i mamy gotową odpowiedź na pytanie ile wynosi całka nieoznaczona z funkcji $f(x)$. To co powiedzieliśmy przed chwilą stanowi definicję całki nieoznaczonej. Matematyczny zapis tej definicji wyglądałby następująco:
$$\int f(x)dx=F(x)+C\Leftrightarrow F'(x)=f(x)$$
(co przeczytalibyśmy jako: całka nieoznaczona z funkcji $f(x)$ wynosi $F(x)+C$ wtedy i tylko wtedy gdy pochodna $F'(x)$ jest równa funkcji $f(x)$.)
Zobaczmy jak to wygląda w praktyce. Powiedzmy, że chcę policzyć całkę nieoznaczoną z funkcji $\frac{1}{\cos^2x}$. No to teraz muszę poszukać (najlepiej w tabelce pochodnych) funkcji, z której pochodna wynosi właśnie $\frac{1}{\cos^2x}$. Po chwili poszukiwań w tabelce pochodnych okazuje się, że jest to…funkcja tangens. Zatem całka nieoznaczona z funkcji $\frac{1}{\cos^2x}$ wynosi tangens oczywiście plus dowolna stała rzeczywista $C$. Zapisalibyśmy to następująco:
$$\int\frac{1}{\cos^2x}dx=\tg x+C.$$
W ten sposób możemy sobie stworzyć tabelką całek nieoznaczonych. Takiej tabelki podobnie jak to było w przypadku tabelki pochodnych należy nauczyć się na pamięć!!! Dlaczego? Po prostu będzie Nam bardzo potrzebna do liczenia kolejnych całek. Tak wiem, że chętnie napisaliby sobie Państwo to na ściągach (albo nawet najchętniej wydrukowali żeby się nie męczyć z przepisywaniem), ale posiadanie tych wzorów w głowie znaczni ułatwi Państwu pracę i pozwoli szybko kojarzyć pewne fakty.

Tabela podstawowych całek:

\begin{equation}\label{eq:potega}
\int x^mdx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C,\ m\neq -1,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:ln}
\int\frac{1}{x} dx=\ln |x|+C,\ x\neq 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:hiperbola}
\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C,\ x\neq 0
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:wykladnicza}
\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:eksponens}
\int e^xdx=e^x+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:sin}
\int \sin xdx=-\cos x+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:cos}
\int \cos xdx=\sin x+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:tg}
\int\frac{1}{\cos^2\!x} dx=\tg x+C,\ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:ctg}
\int\frac{1}{\sin^2\!x} dx=-\ctg x+C,\ x\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:arctg}
\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctg x+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:arcsin}
\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C,\ x\in[-1,1],
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:stala}
\int k dx=kx+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:suma}
\int \left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:jednorodna}
\int k\cdot f(x)dx=k\cdot\int f(x)dx
\end{equation}

Wzory z powyższej tabeli można podzielić na dwie grupy:

  • wzory oznaczone numerami od \eqref{eq:potega} do \eqref{eq:arcsin} podają konkretną odpowiedź na to ile wynosi całka nieoznaczona z pewnej konkretnej funkcji,
  • wzory \eqref{eq:suma} oraz \eqref{eq:jednorodna} podają instrukcję w jaki sposób całki z bardziej skomplikowanych funkcji rozbijać na większą liczbę mniej skomplikowanych całek.

Jak więc należy liczyć całki nieoznaczone? Otóż nieważne jest jak skomplikowana jest funkcja, z której chcemy policzyć całkę nieoznaczoną. Naszym celem zawsze jest sprowadzenie tej funkcji do być może większej liczby funkcji, których całki określone są w powyższej tabelce wzorami od \eqref{eq:potega} do \eqref{eq:arcsin}. Jak to zrobić? Na przykład wykorzystując wzory \eqref{eq:stala}, \eqref{eq:suma} oraz \eqref{eq:jednorodna}, wzory skróconego mnożenia, tożsamości trygonometryczne i inne triki matematyczne. Oprócz tego bardzo często wykorzystuje się w tym celu dwie metody całkowania: metodę podstawienia oraz metodę całkowania przez części, które poznamy już niedługo w moich kolejnych postach. Już w następnym poście zobaczymy jak w praktyce wygląda liczenie podstawowych całek nieoznaczonych.

Posted in Całki, Całki nieoznaczone.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *