Całki nieoznaczone – wyznaczanie podstawowych całek

W dzisiejszym wpisie wyznaczymy kilka podstawowych całek nieoznaczonych, korzystając jedynie z podstawowej tabelki wzorów na całki oraz podstawowych przekształceń matematycznych.

Zaczniemy od przypomnienia sobie tabelki ze wzorami na całki nieoznaczone.

Tabela podstawowych całek:

\begin{equation}\label{eq:potega}
\int x^mdx=\frac{x^{m+1}}{m+1}+C,\ m\neq -1,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:ln}
\int\frac{1}{x} dx=\ln |x|+C,\ x\neq 0,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:hiperbola}
\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C,\ x\neq 0
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:wykladnicza}
\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:eksponens}
\int e^xdx=e^x+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:sin}
\int \sin xdx=-\cos x+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:cos}
\int \cos xdx=\sin x+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:tg}
\int\frac{1}{\cos^2\!x} dx=\tg x+C,\ x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:ctg}
\int\frac{1}{\sin^2\!x} dx=-\ctg x+C,\ x\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:arctg}
\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctg x+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:arcsin}
\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C,\ x\in[-1,1],
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:stala}
\int k dx=kx+C,
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:suma}
\int \left(f(x)\pm g(x)\right)dx=\int f(x)dx\pm\int g(x) dx
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq:jednorodna}
\int k\cdot f(x)dx=k\cdot\int f(x)dx
\end{equation}

Zobaczymy teraz jak w praktyce wygląda liczenie podstawowych całek nieoznaczonych.

Przykład 1. Obliczyć całkę $\int \left(3x+4e-13\cos x\right)dx$.

Po pierwsze zgodnie z wzorem \eqref{eq:suma} należy tą całkę rozbić na sumę trzech całek tzn.:
$$\int \left(3x+4e-13\cos x\right)dx$$
$$=\int 3xdx+\int 4e dx-\int13\cos x dx$$
Po drugie zgodnie ze wzorem \eqref{eq:jednorodna} możemy z każdej z tych trzech całek wyłączyć stałą przed nawias (zwracamy tu uwagę na fakt, że 4e również jest stałą! Nie dajmy się nabrać!) Tak więc mamy:
$$ =3\int xdx+4e\int 1dx-13\int\cos x dx$$
I teraz zaglądamy do tabelki całek. Jeśli chodzi o całkę z $x$ to zgodnie ze wzorem \eqref{eq:potega} jest to $\frac{x^2}{2}$. Całka z 1 zgodnie ze wzorem \eqref{eq:stala} jest równa $x$. Natomiast całka z cosinusa wynosi sinus. Formalnie przy każdej z tych całek powinniśmy dopisać $+C$. Jednak zamiast robić to każdorazowo przy każdej z tych całek zrobimy to raz na samym końcu. Otrzymujemy zatem:
$$ =3\cdot\frac{x^2}{2}+4e\cdot x-13\cdot \sin x+C$$
I to już koniec! Zapiszmy to teraz formalnie:

Rozwiązanie:
$$\int \left(3x+4e-13\cos x\right)dx$$
$$=\int 3xdx+\int 4e dx-\int13\cos x dx$$
$$=3\int xdx+4e\int 1dx-13\int\cos x dx$$
$$=3\frac{x^2}{2}+4ex-13\sin x+C\quad\square$$
Przykład 2. Obliczyć całkę $\int \left(\pi^x+2x^{-1}+3\sqrt[3]{x}+\frac{7}{1+x^2}\right)dx$.

Po pierwsze zgodnie z wzorem \eqref{eq:suma} należy tą całkę rozbić na sumę czterech całek tzn.:
$$\int \left(\pi^x+2x^{-1}+3\sqrt[3]{x}+\frac{7}{1+x^2}\right)dx$$
$$=\int\pi^x dx+\int 2x^{-1}dx+\int 3\sqrt[3]{x}dx+\int\frac{7}{1+x^2}dx$$
Po drugie zgodnie ze wzorem \eqref{eq:jednorodna} możemy z każdej z tych czterech całek wyłączyć stałą przed nawias (zwracamy tu uwagę na fakt, że $\pi^x$ jest funkcją wykładniczą, a nie stałą!) Tak więc mamy:
$$ =\int\pi^x dx+2\int x^{-1}dx+3\int\sqrt[3]{x}dx+7\int\frac{1}{1+x^2}dx$$
Teraz popatrzmy na te 4 całki i poszukajmy ich w tabeli całek. Pierwsza i ostatnia z tych całek dana jest w tabelce odpowiednio wzorami \eqref{eq:wykladnicza} oraz \eqref{eq:arctg}. Drugą całkę przekształcamy korzystając z faktu, że $x^{-1}=\frac{1}{x}$ zaś trzecią przekształcamy zamieniając pierwiastek na potęgę tzn. $\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$. Otrzymamy wówczas:
$$ =\frac{\pi^x}{\ln\pi}+2\int\frac{1}{x}dx+3\int x^{\frac{1}{3}}dx+7\arctg x.$$
Wtedy również pozostałe dwie całki odnajdziemy w tabeli całek. Stosując wzór \eqref{eq:ln} do drugiej całki oraz wzór \eqref{eq:potega} do trzeciej całki otrzymujemy:
$$ =\frac{\pi^x}{\ln\pi}+2\ln |x|+3\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+7\arctg x+C.$$
Co po uproszczeniu daje:
$$ =\frac{\pi^x}{\ln\pi}+2\ln |x|+\frac{9}{4}x^{\frac{4}{3}}+7\arctg x+C.$$
I to już koniec! Zapiszmy to teraz formalnie:

Rozwiązanie:
$$\int \left(\pi^x+2x^{-1}+3\sqrt[3]{x}+\frac{7}{1+x^2}\right)dx$$
$$=\int\pi^x dx+\int 2x^{-1}dx+\int 3\sqrt[3]{x}dx+\int\frac{7}{1+x^2}dx$$
$$=\int\pi^x dx+2\int x^{-1}dx+3\int\sqrt[3]{x}dx+7\int\frac{1}{1+x^2}dx$$
$$=\frac{\pi^x}{\ln\pi}+2\int\frac{1}{x}dx+3\int x^{\frac{1}{3}}dx+7\arctg x.$$
$$=\frac{\pi^x}{\ln\pi}+2\ln |x|+3\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}+7\arctg x+C.$$
$$=\frac{\pi^x}{\ln\pi}+2\ln |x|+\frac{9}{4}x^{\frac{4}{3}}+7\arctg x+C\quad\square$$
Przykład 3. Obliczyć całkę $\int\frac{(3x^4+6x)(5-\sqrt[4]{x})}{6x^2}\ dx$.

Tutaj mamy całkę z ilorazu. Przypominam, że absolutnie nie można jej rozpisać jako iloraz dwóch całek!!! Takiego wzoru nie ma!!!
Należy zacząć od wymnożenia nawiasów w liczniku. Zanim zaczniemy mnożyć to zamieniamy pierwiastki na potęgi bo podczas mnożenia będziemy chcieli skorzystać z praw działań na potęgach. Zatem po zamianie mamy:
$$ =\int\frac{(3x^4+6x)(5-x^{\frac{1}{4}})}{6x^2} dx$$
Zaś po wymnożeniu otrzymamy:
$$ =\int\frac{15x^4-3x^{\frac{17}{4}}+30x-6x^{\frac{5}{4}}}{6x^2}dx$$
Teraz możemy rozbić ułamek znajdujący się pod całką na sumę czterech ułamków tzn.:
$$ =\int\frac{15x^4}{6x^2}dx-\int\frac{3x^{\frac{17}{4}}}{6x^2}dx+\int\frac{30x}{6x^2}dx-\int\frac{6x^{\frac{5}{4}}}{6x^2}dx$$
Możemy teraz skorzystać z praw działań na potęgach i przy okazji powyciągać stałe przed całki. Otrzymamy wówczas:
$$ =\frac{15}{6}\int x^2 dx-\frac{1}{2}\int x^{\frac{9}{4}} dx+5\int\frac{1}{x}dx-\int x^{-\frac{3}{4}}dx$$
Całkę trzecią celowo zapisaliśmy w takiej postaci, gdyż aby ją obliczyć skorzystamy teraz ze wzoru \eqref{eq:ln} z tabelki. Wszystkie pozostałe całki policzymy korzystając ze wzoru \eqref{eq:potega}. Po obliczeniach otrzymamy:
$$ =\frac{15}{6}\cdot\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{\frac{13}{4}}}{\frac{13}{4}}+5\ln |x|-\frac{x^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}}+C$$
Co po uproszczeniu daje:
$$ =\frac{15}{18}x^3-\frac{2}{13}x^{\frac{13}{4}}+5\ln |x|-4x^\frac{1}{4}+C$$
I to już koniec! Zapiszmy to teraz formalnie:

Rozwiązanie:
$$\int\frac{(3x^4+6x)(5-\sqrt[4]{x})}{6x^2}\ dx$$
$$=\int\frac{(3x^4+6x)(5-x^{\frac{1}{4}})}{6x^2} dx$$
$$=\int\frac{15x^4-3x^{\frac{17}{4}}+30x-6x^{\frac{5}{4}}}{6x^2}dx$$
$$=\int\frac{15x^4}{6x^2}dx-\int\frac{3x^{\frac{17}{4}}}{6x^2}dx+\int\frac{30x}{6x^2}dx-\int\frac{6x^{\frac{5}{4}}}{6x^2}dx$$
$$=\frac{15}{6}\int x^2 dx-\frac{1}{2}\int x^{\frac{9}{4}} dx+5\int\frac{1}{x}dx-\int x^{-\frac{3}{4}}dx$$
$$=\frac{15}{6}\cdot\frac{x^3}{3}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{\frac{13}{4}}}{\frac{13}{4}}+5\ln |x|-\frac{x^{\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}}+C$$
$$=\frac{15}{18}x^3-\frac{2}{13}x^{\frac{13}{4}}+5\ln |x|-4x^\frac{1}{4}+C\quad\square$$
Przykład 4. Obliczyć całkę $\int\frac{16-x^2}{2x-8} \ dx$.

Tutaj nie ma sensu rozbijać wyrażenia podcałkowego na dwa ułamki tak jak to było w poprzednim przykładzie. Dlaczego? Można rozwiązać ten przykład szybciej. Co należy zrobić? Przypomnieć sobie, że jest coś takiego jak wzory skróconego mnożenia. W liczniku zastosujemy wzór $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$. W mianowniku zaś wyciągamy -2 przed nawias. Dlaczego -2? Zaraz zobaczymy. Otrzymujemy zatem:
$$ =\int\frac{(4-x)(4+x)}{-2(-x+4)}dx$$
Zauważamy teraz, że $4-x$ z licznika i $-x+4$ to to samo, więc możemy te wyrażenia ze sobą skrócić (właśnie dlatego wyciągnęliśmy -2 w mianowniku przed nawias). Po skróceniu otrzymujemy:
$$ =\int\frac{4+x}{-2}dx$$
Teraz wyciągamy stałą przed całkę:
$$ =-\frac{1}{2}\int (4+x)dx$$
Następnie rozbijamy całkę na dwie całki:
$$ =-\frac{1}{2}\left(\int 4dx+\int xdx\right)$$
Wówczas na podstawie wzoru \eqref{eq:stala} i \eqref{eq:potega} otrzymujemy:
$$ =-\frac{1}{2}\left(4x+\frac{x^2}{2}\right)+C$$
I to już koniec! Zapiszmy to teraz formalnie:

Rozwiązanie:
$$\int\frac{16-x^2}{2x-8} \ dx$$
$$=\int\frac{(4-x)(4+x)}{-2(-x+4)}dx$$
$$=\int\frac{4+x}{-2}dx$$
$$=-\frac{1}{2}\int (4+x)dx$$
$$=-\frac{1}{2}\left(\int 4dx+\int xdx\right)$$
$$=-\frac{1}{2}\left(4x+\frac{x^2}{2}\right)+C\quad\square$$

Przerobiliśmy zatem kilka przykładów jak należy liczyć całkę nieoznaczoną w najprostszych przykładach. Czasem jednak przykłady są trochę bardziej skomplikowane, choć może nawet nie być tego widać, i wymagają skorzystania z którejś z dwóch bardzo ważnych metod całkowania (czasem należy skorzystać z obu metod w jednym przykładzie – najczęściej na kolokwium lub egzaminie:): całkowania przez podstawienie lub całkowania przez części.

Posted in Całki, Całki nieoznaczone.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *