Całki oznaczone – przykład #1

Dzisiejszy wpis to rozpisany krok po kroku (z możliwością przeklikania) przykład wyznaczenia pewnej całki oznaczonej

Zadanie 1. Obliczyć całkę $\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin (\tg x)}{\cos^2(x)}dx$.

Rozwiązanie:

Przejdziemy teraz do kolejnych kroków w rozwiązywaniu zadania. Aby je prześledzić skorzystaj z przycisków „Kolejny krok”. Nie śpiesz się i przeanalizuj wszystko dokładnie. W razie wątpliwości zawsze możesz skorzystać z przycisku „Od początku” i przeanalizować wszystko jeszcze raz.


\begin{align*}
&\cssId{Step1}{\text{1. Zaczynamy od obliczenia całki oznaczonej }\int\frac{\sin (\tg x)}{\cos^2(x)}dx}\\
&\cssId{Step2}{\int\frac{\sin (\tg x)}{\cos^2(x)}dx=}
\cssId{Step3}{\begin{vmatrix} t=\tg x\\
t'(x)=\frac{1}{\cos^2x}\\
\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\cos^2x}\\
dt=\frac{1}{\cos^2x}dx\end{vmatrix}}
\cssId{Step4}{=\int\sin t dt}
\cssId{Step5}{=-\cos t+C}
\cssId{Step6}{=-\cos (\tg x)+C}\\
&\cssId{Step7}{\text{2. Jeśli }\int f(x)dx=F(x)+C\text{, to }\int_a^b f(x)dx=[F(x)]^b_a=F(b)-F(a). \text{Zatem całka oznaczona jest równa}}\\
&\cssId{Step8}{\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sin (\tg x)}{\cos^2(x)}dx=}
\cssId{Step9}{\left[-\cos (\tg x)\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}}
\cssId{Step10}{=-\cos \left(\tg \left(\frac{\pi}{4}\right)\right)-\left(-\cos \left(\tg \left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\right)}
\cssId{Step11}{=-\cos (1)+\cos \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}
\end{align*}

Share:
Posted in Całki, Całki oznaczone.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *