Pole ograniczonego obszaru #1

Dzisiejszy wpis będzie dotyczył bardzo praktycznego zastosowania całek oznaczonych. Mianowicie, wykorzystamy całki do wyznaczania pola obszaru ograniczonego przez pewne krzywe. Rozważmy poniższe zadanie:

Zadanie 1. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi $y=e^x,\ y=e,\ x=0$.

Rozwiązanie:

Rozwiązanie tego zadania należy oczywiście rozpocząć od narysowania wszystkich krzywych. To pozwoli nam zidentyfikować szukany obszar. Wykorzystamy do tego darmowy program GeoGebra, w którym uzyskujemy poniższy wykres:

Pokaż wykres ograniczonego obszaru

Możemy teraz przejść do kolejnych kroków w rozwiązywaniu zadania. Aby je prześledzić skorzystaj z przycisków „Kolejny krok”. Nie śpiesz się i przeanalizuj wszystko dokładnie. W razie wątpliwości zawsze możesz skorzystać z przycisku „Od początku” i przeanalizować wszystko jeszcze raz.


\begin{align*}
&\cssId{Step1}{\text{1. Wyznaczamy odciętą punktu A, przecięcia się wykresów funkcji } y=e^x \text{ oraz }y=e \text{ poprzez przyrównanie wzorów funkcji:}}\\
&\cssId{Step2}{e^x=e}\\
&\cssId{Step3}{e^x=e^1}\\
&\cssId{Step4}{x=1}\\
&\cssId{Step5}{\text{2. Korzystając ze wzoru }P=\int_a^b(f(x)-g(x))dx\text{ wyznaczamy pole ograniczonego obszaru}}\\
&\cssId{Step6}{P=\int_0^1\left(e-e^x\right)dx}\\
&\cssId{Step7}{=\left[ex-e^x\right]^1_0}\\
&\cssId{Step8}{=e\cdot 1-e^1-\left(e\cdot 0-e^0\right)}\\
&\cssId{Step9}{=e-e-0+1}\\
&\cssId{Step10}{=1}\\
&\cssId{Step11}{\text{3. Odpowiedź: Pole ograniczonego obszaru wynosi 1 }j^2.}\\
\end{align*}

Posted in Całki, Całki oznaczone.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *